Question

如圖，⊙O 是△ABC 的外接圓，AB=AC=10 ，BC=12 ，P 是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，DP是⊙O的切線？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)DP為⊙O的切線時(shí)，求線段DP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1 ）當(dāng)點(diǎn)P 是的中點(diǎn)時(shí)，DP是⊙O的切線．理由如下：
∵AB=AC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴PA是⊙O的直徑，
∵=，
∴∠1=∠2，又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切線．
（2 ）連接OB ，設(shè)PA 交BC 于點(diǎn)E ． 由垂徑定理，得BE=BC=6 ，
在Rt △ABE 中，由勾股定理，得：AE===8，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=，
∵DP∥BC，
∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴=，即=，
解得：DP=．