Question

已知四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O．現給出四個條件：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA，請你以其中的三個條件作為命題的題設，以“四邊形ABCD為菱形”作為命題的結論．

1.寫出一個真命題，并證明

2.寫出一個假命題，并舉出一個反例說明

 

Answer 1

 

1.如：若AC⊥BD，AC平分線段BD，AD∥BC，則四邊形ABCD是菱形．

證明：如圖，設AC與BD交于上點O．

∵AC平分BD

∴BO=DO

∵AD∥BC，

∴∠ADO=∠CBO

在△AOD和△COB中，

∵ ∠ADO=∠CBO， BO=DO ，∠AOD=∠COB  ，

∴△AOD≌△COB（ASA）

∴AO=CO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

又∵AC⊥BD

∴四邊形ABCD是菱形；

2.如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD=∠ODA，則四邊形ABCD是菱形．

反例：如圖，四邊形ABCD為矩形．

解析:（1）結合題中條件，從對角線上考慮：①AC⊥BD；②AC平分對角線BD，只要再說明AO與CO相等就可以了，利用③AD∥BC證明三角形全等就可以得到；

（2）利用條件說明是矩形，所以是菱形是假命題．