Question

（2012•樂山）已知關(guān)于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩實(shí)根分別為x₁與x₂，求代數(shù)式x₁•x₂-x₁²-x₂²的最大值．

Answer 1

分析：（1）將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，故根的判別式大于等于0，據(jù)此列不等式解答即可；
（2）將x₁•x₂-x₁²-x₂²化為兩根之積與兩根之和的形式，將含m的代數(shù)式代入求值即可．

解答：解：（1）由（x-m）²+6x=4m-3，得x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0．…（1分）
∴△=b²-4ac=（6-2m）²-4×1×（m²-4m+3）=-8m+24．…（3分）
∵方程有實(shí)數(shù)根，
∴-8m+24≥0．解得 m≤3．
∴m的取值范圍是m≤3．…（4分）

（2）∵方程的兩實(shí)根分別為x₁與x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系，得
∴x₁+x₂=2m-6，x1•x2=m2-4m+3，…（5分）
∴x1x2-x12-x22=3x1x2-(x1+x2)2
=3（m²-4m+3）-（2m-6）²
=-m²+12m-27
=-（m-6）²+9…（7分）
∵m≤3，且當(dāng)m＜6時(shí)，-（m-6）²+9的值隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=3時(shí)，x1•x2-x12-x22的值最大，最大值為-（3-6）²+9=0．
∴x1•x2-x12-x22的最大值是0．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)求最值，綜合性較強(qiáng)，考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及推理能力．