Question

如圖，正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S_△FGC=3．其中正確結(jié)論的是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG=GC；通過證明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；由于S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC，求得面積比較即可．
解答：解：①正確．因?yàn)锳B=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；
②正確．因?yàn)椋篍F=DE=CD=2，設(shè)BG=FG=x，則CG=6-x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3．所以BG=3=6-3=GC；
③正確．因?yàn)镃G=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；
④錯(cuò)誤．
過F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴=，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比為：==，
∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=×3×4-×4×（ ×3）=≠3．
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的面積計(jì)算等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．