Question

21、觀察下列等式：
第一行     2²-1²=4-1=3
第二行     3²-2²=9-4=5
第三行     4²-3²=16-9=7
第四行     5²-4²=25-16=9
…
（1）請你寫出第五行的等式為

6²-5²=36-25=11，

．
（2）按照上述規(guī)律，第n行的等式為

（n+1）²-n²=2n+1

．
（3）請你利用已學過的知識對你得到的等式進行證明．

Answer 1

分析：（1）觀察原題中的等式發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)的底數(shù)比行數(shù)多1，且減數(shù)的底數(shù)等于行數(shù)，而計算結(jié)果是從3開始的奇數(shù)，從而得到第5行的等式；
（2）根據(jù)上述規(guī)律，同理猜想得到第n行的等式；
（3）利用平方差公式化簡（2）的等式左邊，合并后得到與等式的右邊相等，得證．

解答：解：（1）把原等式變形得：
第一行 （1+1）²-1²=4-1=3=2×1+1；
第二行 （2+1）²-2²=9-4=5=2×2+1；
第三行 （3+1）²-3²=16-9=7=2×3+1；
第四行 （4+1）²-4²=25-16=9=2×4+1；
則第五行的等式為（5+1）²-5²=36-25=11=2×5+1，即6²-5²=36-25=11，
（2）按照上述規(guī)律，第n行的等式為：（n+1）²-n²=2n+1，
（3）證明：等式左邊=[（n+1）+n][（n+1）-n]=2n+1=右邊，得證．
故答案為：（1）6²-5²=36-25=11；（2）（n+1）²-n²=2n+1

點評：此題考查了平方差公式的靈活運用，考查了學生提出猜想，證明猜想，歸納總結(jié)得出結(jié)論的能力，是一道規(guī)律型的基礎題．