Question

已知方程x²-2ax+a=4
（1）求證：方程必有相異實(shí)根
（2）a取何值時(shí)，方程有兩個(gè)正根？
（3）a取何值時(shí)，兩根相異，并且負(fù)根的絕對(duì)值較大？
（4）a取何值時(shí)，方程有一根為零？

Answer 1

解：（1）方程x²-2ax+a=4，可化為：x²-2ax+a-4=0，
∴△=4a²-4（a-4）=4+15＞0恒成立，故方程必有相異實(shí)根．
（2）若方程有兩個(gè)正根x₁，x₂，則x₁+x₂=2a＞0，x₁x₂=a-4＞0，解得：a＞4．
（3）若方程有兩根相異，并且負(fù)根的絕對(duì)值較大，則可得：x₁+x₂=2a＜0，x₁x₂=a-4＜0，解得：a＜0．
（4）若方程有一根為零，把x=0代入方程x²-2ax+a=4，得：a=4．
分析：（1）根據(jù)△＞0恒成立即可證明．
（2）由方程有兩個(gè)正根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出a的取值．
（3）由方程有兩根相異，并且負(fù)根的絕對(duì)值較大，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系解答．
（4）令x=0代入方程求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，難度適中，關(guān)鍵是熟記x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時(shí)，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．