Question

如圖1，拋物線y＝－x²－x＋3與x軸交于

A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)D為已知拋物線的對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的面積等

于△ACB的面積時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若直線l過點(diǎn)E(4, 0)，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M為

頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

圖（3）

圖（2）

圖（1）

 

Answer 1

解（1）由－x²－x＋3＝0，  得交點(diǎn)坐標(biāo)為A(－4， 0)、B(2， 0)

（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時(shí)，點(diǎn)B、D到直線AC的距離相等．

過點(diǎn)B作AC的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，在AC的另一側(cè)有對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D′．

設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G，與AC交于點(diǎn)H．

由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以． ………………………………4分

所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．…………………………………………5分

因?yàn)?i>AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標(biāo)為           …………6分

圖2                            圖3

（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)M．

以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)M；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)M了．   …………………………………………………………………………………7分

連接GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

在Rt△EM₁A中，AE＝8，，所以M₁A＝6．…………………8分

所以點(diǎn)M₁的坐標(biāo)為(－4， 6)，過M₁、E的直線l為y＝－x＋3．       …………9分

根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是y＝x－3．                            …………10分