解:(1)∵拋物線過原點O,且與x軸交于另一點A(A在O右側(cè)),OA=3,
∴A點坐標為(3,0),
∴拋物線的對稱軸為直線x=
;
(2)∵拋物線的對稱軸為直線x=
,
∴可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-
)
2+k,
∴頂點B的坐標為(
,k).
如圖1,∵點C的橫坐標為:ON=
+3=
,點C在拋物線y=a(x-
)
2+k上,
∴點C的縱坐標為a(
-
)
2+k=9a+k.
∵MC=4.5,
∴9a+k-k=4.5,
∴a=
,
將A點坐標(3,0)代入y=
(x-
)
2+k,
得
(3-
)
2+k=0,解得k=-
,
∴拋物線的解析式為y=
(x-
)
2-
,即y=
x
2-
x;
(3)拋物線的對稱軸上存在使△ACD周長最小的點D,理由如下:
如圖1,連接OC,交拋物線的對稱軸于點D,則△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最。
設(shè)直線OC的解析式為y=mx,將點C的坐標(
,
)代入,
得
m=
,解得m=
,
即直線OC的解析式為y=
x,
當x=
時,y=
×
=
.
故所求D點坐標為(
,
);
(4)梯形EFGH的面積S與線段EF的長度存在函數(shù)關(guān)系,理由如下:
如圖2,設(shè)點E橫坐標為a,則E點坐標為(a,
a
2-
a),H點坐標為(a,0),
點F橫坐標為a+3,F(xiàn)點坐標為(a+3,
(a+3)
2-
(a+3)),G點坐標為(a+3,0),
∵梯形EFGH的面積S=
(EH+FG)•HG=
[(
a
2-
a)+
(a+3)
2-
(a+3)]×3=
a
2,
又∵
(a+3)
2-
(a+3)-(
a
2-
a)=3a,EF=
=3
,
∴
=
-1,
∴S=
EF
2-
,即S是EF長度的二次函數(shù).
分析:(1)由拋物線過原點O及A點(3,0),根據(jù)拋物線的對稱性,由中點坐標公式,即可求出拋物線的對稱軸為直線x=
,即x=
;
(2)先由拋物線的對稱軸為直線x=
,設(shè)拋物線的解析式為頂點式y(tǒng)=a(x-
)
2+k,則頂點B的坐標為(
,k),再將x=
代入,求出點C的縱坐標為9a+k,根據(jù)MC=4.5,求出a=
,然后將A點坐標(3,0)代入y=
(x-
)
2+k,求出k=-
,得到拋物線的解析式為y=
(x-
)
2-
,即y=
x
2-
x;
(3)由于O、A兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,所以連接OC,交拋物線的對稱軸于點D,則△ACD的周長最小.先運用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式,再將x=
代入,求出y的值,即可得到D點坐標;
(4)先用含a的代數(shù)式分別表示E,H,F(xiàn),G四點的坐標,得到EH與FG的長度,再根據(jù)梯形的面積公式求出S=
a
2,再運用兩點之間的距離公式求出EF=3
,則
=
-1,整理后得出S=
EF
2-
,即S是EF長度的二次函數(shù).
點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)與二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),平移、軸對稱的性質(zhì),梯形的面積、兩點之間的距離公式,綜合性較強,難度適中.根據(jù)拋物線的性質(zhì)運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.