Question

如圖，AC是⊙O直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與B、C不重合），連結(jié)AE，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD．已知⊙O的半徑為1，∠BAC=60°．
（1）當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求的值；
（2）設(shè)CE為x，求的值（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）能否找到一個(gè)點(diǎn)E，使得=8-2？如果能，求出點(diǎn)E的位置；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABE=∠ADC=90°，
∵∠BAC=60°，AC=1+1=2，
∴∠BCA=30°，
∴AB=1，由勾股定理得：BC=，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE=，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE==，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴=，
∴CD==，
∴==．

（2）∵CE=x，
∴BE=-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=，
∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠DEC，
∴△AEB∽△CED，
∴=，
∴CD=，
∴==．

（3）假設(shè)存在E點(diǎn)，使得=8-2，
則=8-2，
解得：x=4+2（大于直徑AC的長(zhǎng)2，舍去），x=4-2，
即存在E點(diǎn)，使得=8-2，此時(shí)CE=4-2．
分析：（1）求出BC、BE、CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AE，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（2）求出BC、BE、CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AE，證△AEB∽△CED，得出比例式，求出DC，代入求出即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果得出方程，求出發(fā)出的解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力，題目比較典型，是一道比較好的題目．