Question

已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立．
（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過測量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明）；
（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖（3）畫出滿足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明）

Answer 1

（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．

（2）解：（1）中的結(jié)論成立．
①∵四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又　PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC．（7分）
又∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED．
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，
∴PE⊥PB．

（3）解：如圖所示：

結(jié)論：①PE=PB，②PE⊥PB．
分析：（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定證△PDC≌△PBC，推出PB=PD=PE，∠PDE=180°-∠PBC=∠PED，求出∠PEC+∠PBC=180°，求出∠EPB的度數(shù)即可；
（1）和（3）證法與（2）類似．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，垂線等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出PD=PB和∠PEC+∠PBC=180°，題目比較典型，難度適中，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力和分析問題的能力．