Question

閱讀理解：
給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的2倍，則這個(gè)矩形是給定矩形的“加倍”矩形．如圖，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“加倍”矩形．請(qǐng)你解決下列問題：
（1）邊長為a的正方形存在“加倍”正方形嗎？如果存在，求出“加倍”正方形的邊長；如果不存在，說明理由．
（2）當(dāng)矩形的長和寬分別為m，n時(shí)，它是否存在“加倍”矩形？請(qǐng)作出判斷，說明理由．

Answer 1

（1）不存在．
因?yàn)閮蓚�(gè)正方形是相似圖形，當(dāng)它們的周長比為2時(shí)，則面積比必定是4，所以不存在．
（相同解答均可給分，如：滿足周長是2倍時(shí)，則面積就成了4倍，所以不存在）（4分）

（2）存在．（5分）
設(shè)“加倍”矩形的長和寬分別為x，y．
則：

x+y=2(m+n) xy=2mn

．（7分）
x，y就是關(guān)于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的兩個(gè)正根．（8分）
∵△=[-2（m+n）]²-8mn=4（m²+n²）（9分）．
當(dāng)m，n不同時(shí)為零時(shí)，此題中，m＞0，n＞0．
∴△=4（m²+n²）＞0．（10分）
∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根x和y（11分）
即：存在一個(gè)矩形是已知矩形的“加倍”矩形（12分）