Question

在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)則是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時，圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計了如圖所示的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計了如圖所示的方案二．（兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切）

（1）請說明方案一不可行的理由；

（2）判斷方案二是否可行？若可行，請確定圓錐的母線長及其底面圓半徑；若不可行，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）理由如下：

∵扇形的弧長＝16×＝8π，圓錐底面周長＝2πr，∴圓的半徑為4cm．

由于所給正方形紙片的對角線長為cm，而制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長為cm，，

∴方案一不可行．

（2）方案二可行．求解過程如下：

設(shè)圓錐底面圓的半徑為rcm，圓錐的母線長為Rcm，則

，  ①       ．  ②   

由①②，可得，．  故所求圓錐的母線長為cm，底面圓的半徑為cm．

【解析】（1）首先根據(jù)扇形的弧長公式及圓錐底面周長求出底面圓的半徑，再比較所給正方形紙片的對角線與制作這樣的圓錐實際需要正方形紙片的對角線長即可得到結(jié)論；

（2）先設(shè)出圓錐底面圓的半徑及圓錐的母線長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)及圓錐底面周長公式列出方程組，即可得到結(jié)果。