Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值，并求此時E點的坐標．

Answer 1

解：（1）把點A（1，0）和點B（-3，0）代入拋物線解析式得：
，
①×3+②得：12a+12=0，解得：a=-1，
把a=-1代入①得：-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴方程組的解集為，
則所求拋物線解析式為：y=-x²-2x+3；

（2）過點E作EF⊥x軸于點F，連接BE，F(xiàn)C，BC，

設E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），
∴EF=-m²-2m+3，BF=m+3，OF=-m，
∴S_{四邊形BOCE}=BF•EF+（OC+EF）•OF
=（m+3）•（-m²-2m+3）+（-m²-2m+6）•（-m）
==+，
∴當m=-時，S_{四邊形BOCE}最大，且最大值為，
而S_△BOC值一定，具體求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S_△BOC=OB•OC=，
則△BCE面積的最大值S=S_{四邊形BOCE}-S_△BOC=-=，
又∵當m=-時，-m²-2m+3=-（-）²-2×（-）+3=，
則此時點E坐標為（-，）．
分析：（1）把A和B的坐標代入拋物線解析式，得到關于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，進而確定出拋物線的解析式；
（2）在拋物線在第二象限圖象上任取一點E，過E作EF垂直于x軸，垂足為F，連接BE，EC，BC，△BEC的面積=△BEF的面積+梯形COFE的面積-△BOC的面積，由拋物線與y軸的交點為C，求出C的坐標得到OC的長，由B的坐標得到OB的長，又△BOC為直角三角形，兩直角邊OB與OC乘積的一半即為△BOC的面積，此面積為定值，故要求△BEC面積的最大值，即要求三角形BEF的面積+梯形COFE的面積的最大值，設出E的坐標（m，-m²-2m+3），EF為E的縱坐標，OF為E橫坐標的絕對值，BF=OB-OF，而△BEF為直角三角形，利用兩直角邊EF與BF乘積的一半表示出此三角形的面積，再根據(jù)上下底之和的一半乘以高表示出梯形OCFE的面積，進而表示出△BEF的面積+梯形COFE的面積之和，配方后根據(jù)二次項系數(shù)小于0，得到拋物線開口向下，二次函數(shù)有最大值，利用二次函數(shù)的性質求出此時面積之和的最大值，用求出面積之和的最大值減去△BOC的面積，即可得到△BEC面積的最大值，由此時求出的m，可確定出此時E的坐標．
點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合性題，涉及的知識有：利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平面直角坐標系中點的坐標與線段長度的關系，利用二次函數(shù)求面積的最大值，以及直角三角形、梯形的面積公式，根據(jù)圖形得出三角形BEC的面積=三角形BEF的面積+梯形COFE的面積-三角形BOC的面積是解本題第二問的關鍵．