Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A，B，C在⊙O上，AD與⊙O相切，射線AO交BC于點E，交⊙O于點F．點P在射線AO上，且∠PCB=2∠BAF．
（1）求證：直線PC是⊙O的切線；
（2）若AB=

10

，AD=2，求線段PC的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OC，由AD與⊙O相切，可得FA⊥AD，四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，然后由垂徑定理可證得F是

BC

的中點，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，繼而證得直線PC是⊙O的切線；
（2）首先由勾股定理可求得AE的長，然后設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3-r，則可求得半徑長，易得△OCE∽△CPE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得線段PC的長．

解答：（1）證明：連接OC．
∵AD與⊙O相切于點A，
∴FA⊥AD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA經(jīng)過圓心O，
∴F是

BC

的中點，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵點C在⊙O上，
∴直線PC是⊙O的切線．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD=2．
∴BE=CE=1．
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=

10

，
∴AE=

AB2-BE2

=3．
設⊙O的半徑為r，則OC=OA=r，OE=3-r．
在Rt△OCE中，∠OEC=90°，
∴OC²=OE²+CE²．
∴r²=（3-r）²+1．
解得r=

5

3

，
∵∠COE=∠PCE，∠OEC=∠CEP=90°．
∴△OCE∽△CPE，
∴

OE

CE

=

OC

CP

．
∴

3- 5 3

1

=

5 3

CP

．
∴CP=

5

4

．

點評：此題考查了切線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應用．