Question

16．已知某二次函數(shù)的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸相交于C（0，-3m）（m＞0），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；
（2）如圖①，當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)△APC的面積為S，試求出S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式及S的最大值；
（3）如圖②，當(dāng)m取何值時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似？

Answer 1

分析 （1）因?yàn)槎�次函�?shù)的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），所以可以設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3m）代入，求出a即可．
（2）如圖1中，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求出直線AC的解析式，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x²+4x-6），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，-2x-6），根據(jù)S=$\frac{1}{2}$×3×（PE-PF）=$\frac{3}{2}$[（-2x-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
（3）如圖2中，由題意AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，因?yàn)椤鱋BC是直角三角形，所以欲使得以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，所以△ACD必須是直角三角形，利用勾股定理分兩種情形列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（1，0），
∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a（x+3）（x-1），
∵該二次函數(shù)與y軸相交于C（0，-3m），
∴-3a=-3m，
∴a=m，
∴設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．

（2）如圖1中，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，

當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-6），該二次函數(shù)的解析式為y=2x²+4x-6，
∵點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-6），
∴直線AC的解析式為y=-2x-6，
∵點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x（-3＜x＜0）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x²+4x-6），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，-2x-6），
S=$\frac{1}{2}$×3×（PE-PF）=$\frac{3}{2}$[（-2X-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∵-3＜0，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，S有最大值$\frac{27}{4}$；

（3）如圖2中，

∵y=m（x+3）（x-1）=m（x²+2x-3）=m（x+1）²-4m，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-4m），
∴AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，
AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，
CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，
∵△OBC是直角三角形，
∴欲使得以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似，
∴△ACD必須是直角三角形，
①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，∵AC²+CD²=AD²，
∴9+9m²+1+m²=4+16m²，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
此時(shí)$\frac{AC}{CD}$=3，$\frac{CO}{OB}$=3，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{CO}{OB}$，∵∠ACD=∠COB=90°，
∴△ACD∽△COB，符合題意．
②當(dāng)∠ADC=90°，則AD²+CD²=AC²，
即4+16m²+1+m²=9+9m²，
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵m＞0，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
此時(shí)，$\frac{AD}{CD}$=2$\sqrt{2}$，$\frac{CO}{OB}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}$≠$\frac{CO}{OB}$，
顯然△ACD與△OBC不相似，不符合題意，
∴綜上所述，只有當(dāng)m=1時(shí)，以A、D、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△OBC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．