Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)A（a，0）、點(diǎn)B（a-4，0），位于原點(diǎn)兩側(cè)，且∠ABC=60°，AE⊥BC，交y軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，且∠CDO=45°，AB=2BD
（1）直接寫出∠BCD的度數(shù)、AB的長(zhǎng)及點(diǎn)C的縱坐標(biāo)（用含有a的式子表示）
①∠BCD=15°
②AB=4
③C（0，6-a）
（2）求∠ACD的度數(shù)；
（3）求點(diǎn)F的坐標(biāo)（用含有a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①在△BCD中利用三角形外角的性質(zhì)可求得∠BCD；②利用A、B的坐標(biāo)可求得AB的長(zhǎng)；③由條件可求得OD的長(zhǎng)度，則可求得OC的長(zhǎng)，可求得C點(diǎn)縱坐標(biāo)；
（2）連接DE，利用直角三角形的性質(zhì)可求得BE=BD，進(jìn)一步可求得DE=AE，可求得CE=AE，則可求得∠ACD；
（3）在Rt△OAF中可求得∠FAO，利用三角函數(shù)值可求得OF的長(zhǎng)，則可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）①∵∠CDO=45°，∠ABC=60°，
∴∠BCD=∠ABC-∠CDO=60°-45°=15°
故答案為：15°；
②∵A（a，0）、點(diǎn)B（a-4，0），
∴AB=a-（a-4）=4，
故答案為：4；
③∵AB=2BD，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AD=AB+BD=6，且OA=a，
∴OC=OD=6-a，
∴C（0，6-a），
故答案為：6-a；
（2）如圖同，連接DE，

∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠CEF=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°-60°=30°，
在Rt△ABE中，BE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=2BD，即BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BE=BD，
∴∠EDB=∠BED，
∵∠EDB+∠BED=∠ABC=60°，
∴∠EDB=30°，
∴∠CDE=∠CDO-∠EDB=15°，
∴∠CDE=∠BCD=15°，
∴DE=CE，
∵∠EDB=∠BAE=30°，
∴DE=AE，
∴CE=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
∴∠ACD=∠ACE+∠BCD=45°+15°=60°；
（3）由（2）可知∠BAE=30°，且OA=a，
∴$\frac{OF}{OA}$=tan∠BAE，即$\frac{OF}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴F（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及三角形外角的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)．在（2）中構(gòu)造三角形，證明△ACE為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．