Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)D、M、N．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為E，點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時有|QE-QC|最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可求M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平移關(guān)系可知OD=MN=3，可求N點(diǎn)坐標(biāo)，將D（3，0），M（0，2），N（-3，2）代入拋物線解析式，列方程組求解；
（2）連接AC交y軸與G，根據(jù)M為BC的中點(diǎn)求C的坐標(biāo)，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，判斷BG為AC的垂直平分線，求直線BG的解析式，再與拋物線聯(lián)立，解方程組求滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由拋物線的對稱性可知QE=QD，故當(dāng)Q、C、D三點(diǎn)共線時，|QE-QC|最大，延長DC與x=-相交于點(diǎn)Q，先求直線CD的解析式，將x=-代入，可求Q點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為F，此時，|QE-QC|=CD，在Rt△CDF中求CD即可．
解答：解：（1）∵BC∥AD，B（-1，2），M是BC與y軸的交點(diǎn)，∴M（0，2），
∵DM∥ON，D（3，0），
∴N（-3，2），
則，
解得，
∴y=-x²-x+2；

（2）連接AC交y軸于G，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴AO=BM=MC，AB=BC=2，
∴AG=GC，即G（0，1），
∵∠ABC=90°，
∴BG⊥AC，即BG是AC的垂直平分線，要使PA=PC，即點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，故P在直線BG上，
∴點(diǎn)P為直線BG與拋物線的交點(diǎn)，
設(shè)直線BG的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴y=-x+1，
∴，
解得，，
∴點(diǎn)P（3+3，-2-3）或P（3-3，-2+3），

（3）∵y=-x²-x+2=-（x+）²+2，
∴對稱軸x=-，
令-x²-x+2=0，
解得x₁=3，x₂=-6，
∴E（-6，0），
故E、D關(guān)于直線x=-對稱，
∴QE=QD，
∴|QE-QC|=|QD-QC|，
要使|QE-QC|最大，則延長DC與x=-相交于點(diǎn)Q，即點(diǎn)Q為直線DC與直線x=-的交點(diǎn)，
由于M為BC的中點(diǎn)，
∴C（1，2），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴y=-x+3，
當(dāng)x=-時，y=+3=，
故當(dāng)Q在（-，）的位置時，|QE-QC|最大，
過點(diǎn)C作CF⊥x軸，垂足為F，
則CD===2．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷三角形的特殊性，根據(jù)拋物線的對稱性求滿足條件的點(diǎn)．