Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且∠A=∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若CA=CP，PB=1，求

BC

的弧長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,弧長(zhǎng)的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OC，若要證明PC是⊙O的切線，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為證明：∠PCO=90°即可；
（2）若要

BC

的弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可知：需求圓的半徑和圓心角即可．

解答：解：（1）連接OC．    
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°． 
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A=∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．   
∴∠PCB+∠OCB=∠ACO+∠OCB=90°，即∠PCO=90°．
∴PC⊥OC．          
又∵OC為⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．  

（2）∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠PCB=∠A=∠P．
∴BC=BP=1．     
∴∠CBO=∠P+∠PCB=2∠PCB．
又∵∠COB=2∠A=2∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
又∵OB=OC，
∴OB=OC=BC=1，即△OBC為等邊三角形． 
∴∠COB=60°．         
∴

BC

的弧長(zhǎng)=

1×60π

180

=

1

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，以及三角形的外角性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的思想，其中切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證明垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線證明垂線段等于半徑．