Question

29、如圖，CD是經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，且直線CD經(jīng)過∠BCA的內部，點E，F(xiàn)在射線CD上，已知CA=CB且∠BEC=∠CFA=∠α．
（1）如圖1，若∠BCA=90°，∠α=90°，問EF=BE-AF，成立嗎？說明理由．
（2）將（1）中的已知條件改成∠BCA=60°，∠α=120°（如圖2），問EF=BE-AF仍成立嗎？說明理由．
（3）若0°＜∠BCA＜90°，請你添加一個關于∠α與∠BCA關系的條件，使結論EF=BE-AF仍然成立．你添加的條件是

∠α+∠BCA=180°

．（直接寫出結論）

Answer 1

分析：（1）成立；理由為：在三角形BCE中，由∠BEC=90°，得到兩銳角互余，又∠BCA=90°，得到兩個角互余，利用同角的余角相等得到∠CBE=∠ACF，然后再由BC=CA，兩個直角相等，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代換得證；
（2）成立；理由為：在三角形BCE中，由∠BEC=120°，得到兩銳角之和為60°，又∠BCA=60°，得到兩個角相加也為60°，利用等量代換得到∠CBE=∠ACF，然后再由BC=CA，兩個直角相等，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代換得證；
（3）當∠α+∠BCA=180°，在三角形BCE中，由∠BEC=∠α，得到兩銳角之和為180°-∠α，即為∠BCA，又∠BCA等于兩個銳角之和，利用等量代換得到∠CBE=∠ACF，然后再由BC=CA，兩個直角相等，利用AAS即可證明三角形BCE與三角形CAF全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得到BE=CF，CE=AF，而EF=CF-CE，等量代換得證，故當兩角互補時，結論仍成立．

解答：解：（1）EF=BE-AF成立，理由為：
在△BCE中，∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，
∵∠BCA=90°，∴∠ACF+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
又BC=CA，∠BEC=∠CFA=90°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF；
（2）EF=BE-AF仍成立，理由為：
在△BCE中，∠BEC=120°，∴∠CBE+∠BCE=60°，
∵∠BCA=60°，∴∠ACF+∠BCE=60°，
∴∠CBE=∠ACF，
又BC=CA，∠BEC=∠CFA=120°，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
又∵EF=CF-CE，
∴EF=BE-AF；
（3）當∠α+∠BCA=180°時，結論EF=BE-AF仍然成立．
故答案為：∠α+∠BCA=180°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，涉及同角的余角相等，等量代換等知識點．同學們要仔細閱讀題意方能解題，屬于一道較復雜的基礎題．本題經(jīng)歷了由特殊到一般的過程，考查了學生分析、歸納、總結的能力．