Question

已知：在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，OE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)FC，使∠FCA=∠AOE，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D．
（1）求證：FD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）設(shè)OC與BE相交于點(diǎn)G，若OG=2，求⊙O半徑的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)OE=3時(shí)，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

證明：（1）連接OC（如圖①），
∵OA=OC，
∴∠1=∠A．
∵OE⊥AC，
∴∠A+∠AOE=90°．
∴∠1+∠AOE=90°．
∵∠FCA=∠AOE，
∴∠1+∠FCA=90°．
即∠OCF=90°．
∴FD是⊙O的切線(xiàn)．

（2）連接BC，（如圖②）
∵OE⊥AC，
∴AE=EC（垂徑定理）．
又∵AO=OB，
∴OE∥BC且OE=

1

2

BC．
∴∠OEG=∠GBC（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∠EOG=∠GCB（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴△OEG∽△CBG（AA）．
∴

OG

CG

=

OE

CB

=

1

2

．
∵OG=2，
∴CG=4．
∴OC=OG+GC=2+4=6．
即⊙O半徑是6．

（3）∵OE=3，由（2）知BC=2OE=6，
∵OB=OC=6，
∴△OBC是等邊三角形．
∴∠COB=60°．
∵在Rt△OCD中，CD=OC•tan60°=6

3

，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形OBC=

1

2

×6×6

3

-

60π×62

360

=18

3

-6π．