Question

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A和C的坐標(biāo)分別為（8，0）和（5，4），過(guò)點(diǎn)C作CB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)D從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度延BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，以每秒a（0＜a≤1.25）個(gè)單位的速度延CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（當(dāng)D點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)，P點(diǎn)也隨之停止）．過(guò)D作DE∥AC交OA于點(diǎn)E，過(guò)P作PQ∥AC交OA于點(diǎn)，連接PD，再過(guò)E作EF∥PD交PQ于F．設(shè)P、D兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）分別求過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)和過(guò)B、C、A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若a=1，求t為何值時(shí)，四邊形DEFP為矩形？并求出此時(shí)直線(xiàn)PQ的解析式；
（3）是否存在這樣的a，t的值，使四邊形DEFP為正方形？若存在，求出此時(shí)a，t的值和正方形的面積；若不存在，說(shuō)明理由；
（4）以A、O、C為頂點(diǎn)的△AOC中，M是AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MN∥OA交OC于N，試問(wèn)，在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△MNR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，依題意，有：
，解得
∴直線(xiàn)AC：y=-x+．
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax²+bx+c，依題意，有：
，解得
∴拋物線(xiàn)：y=-x²+x+c．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BS∥AC，交x軸于點(diǎn)S，則AS=BC=5，OR=3，∴tan∠OBS=tan∠ODE=．
BP=BC-CP=5-at=5-t，BD=t，OD=OB-BD=4-t，OE=OD=3-t；
由題意，四邊形DEFP是平行四邊形，若四邊形DEFP是矩形，所以∠PDE=90°；
∵∠PDB=∠DEO=90°-∠ODE，∠PBD=∠DOE=90°，
∴△PBD∽△DOE，得
即：=，解得 t=，則P（，4）；
由于直線(xiàn)PQ∥AC，設(shè)直線(xiàn)PQ：y=-x+b，代入點(diǎn)P，得：
-×+b=4，解得 b=
∴若a=1，當(dāng)t=時(shí)，四邊形DEFP為矩形；此時(shí)直線(xiàn)PQ的解析式：y=-x+．

（3）同（2）可求得：△PBD≌△DOE，則 BD=OE，BP=OD；
∴，解得
由題意，此時(shí)a的值不在0＜a≤1.25的范圍內(nèi)，所以不存在符合條件的a、t值．

（4）易求得：直線(xiàn)OC：y=x；直線(xiàn)AC：y=-x+．
設(shè)點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為m，分兩種情況討論：
（Ⅰ）線(xiàn)段MN為等腰Rt△MNR的底邊，則 MN=2m；
由MN∥OA，得：=，解得 m=2；
∴M（，2）、N（，2）
∴點(diǎn)R（，0）．
（Ⅱ）線(xiàn)段MN為等腰Rt△MNR的腰，則 MN=m；
由MN∥OA，得：=，解得 m=
∴M（6，）、N（，）
①當(dāng)點(diǎn)N是直角頂點(diǎn)時(shí)，NR⊥x軸，點(diǎn)R（，0）；
②當(dāng)點(diǎn)M是直角頂點(diǎn)時(shí)，MR⊥x軸，點(diǎn)R（6，0）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)R，且坐標(biāo)為（，0）、（，0）、（6，0）．

分析：（1）已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法能確定直線(xiàn)AC與拋物線(xiàn)的解析式．
（2）首先表示出BP、BD、OD、OE四邊的長(zhǎng)，若四邊形DEFP為矩形，那么必須滿(mǎn)足的條件是∠PDE是直角，此時(shí)△PBD、△DOE相似，可據(jù)此求出t的值，在求出BP的長(zhǎng)以及點(diǎn)P的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)PQ的解析式（直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)AC平行，那么它們的斜率相同，在設(shè)直線(xiàn)解析式時(shí)可利用這個(gè)特點(diǎn)）．
（3）方法同（2），不過(guò)由四邊形DEFP為正方形得出的條件變?yōu)椤鱌BD、△DOE全等，首先由BD=OE求出t的值，再由OD=BP求出a的值；進(jìn)一步能得到DP、DE的長(zhǎng)，由此求得正方形的面積．
（4）此題需要注意兩方面：
①線(xiàn)段MN是底邊（此時(shí)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)是點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍）；②線(xiàn)段MN為腰（此時(shí)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)等于點(diǎn)M的縱坐標(biāo)）；
解法大致相同，首先設(shè)出點(diǎn)M或N的縱坐標(biāo)，利用△CMN、△CAO相似，求出這個(gè)縱坐標(biāo)，再利用直線(xiàn)OC、直線(xiàn)AC解析式確定出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)后，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題，主要涉及了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、矩形和正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；其中還穿插了全等、相似三角形的性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用；綜合性很強(qiáng)．在解答這道題時(shí)，對(duì)圖示的理解很重要，著重體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性．