Question

如圖，ABCD為平行四邊形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延長線于F點(diǎn)，交BE于E點(diǎn)。

（1） 求證：DF=FE；
（2） 若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABED的面積。

Answer 1

解：（1）證明：延長DC交BE于點(diǎn)M，
∵BE∥AC，AB∥DC，
∴四邊形ABMC是平行四邊形，
∴CM=AB=DC，C為DM的中點(diǎn)，BE∥AC，DF=FE；
（2）由（2）得CF是△DME的中位線，故ME=2CF，
又∵AC=2CF，四邊形ABMC是平行四邊形，
∴BE=2BM=2ME=2AC，
又∵AC⊥DC，
∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=，
∴BE=；
（3）可將四邊形ABED的面積分為兩部分，梯形ABMD和三角形DME，
在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=，由CF是△DME的中位線得CM=DC=，四邊形ABMC是平行四邊形得AM=MC=，BM=AC=，
∴梯形ABMD面積為：；
由AC⊥DC和BE∥AC可證得三角形DME是直角三角形，其面積為：，
∴四邊形ABED的面積為。