Question

6．某市制藥廠需要緊急生產(chǎn)一批藥品，要求必須在12天（含12天）內(nèi)完成．為了加快生產(chǎn)，車間采取工人加班，機(jī)器不停的生產(chǎn)方式，這樣每天藥品的產(chǎn)量y（噸）是時間x（天）一次函數(shù)，且滿足表中所對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．由于機(jī)器負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生損耗，平均生產(chǎn)每噸藥品的成本P（元）與時間x（天）的關(guān)系滿足圖中的函數(shù)圖象．

時間x（天）	2	4
每天產(chǎn)量y（噸）	24	28

（1）求藥品每天的產(chǎn)量y（噸）是時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)5≤x≤12時，直接寫出P（元）與時間x（天）的函數(shù)關(guān)系是P=P=40x+200；
（3）若這批藥品的價格為1400元/噸，每天的利潤設(shè)為W元，求哪一天的利潤最高，最高利潤是多少？（利潤=價格-成本）
（4）為了提高工人加班的津貼，藥廠決定在（3）中價格的基礎(chǔ)上每噸藥品加價a元，但必須滿足從第5天到第12天期間，每噸加價a后每天的利潤隨時間的增大而增大，直線寫出a的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可解決．
（2）設(shè)P=k′x+b，利用待定系數(shù)法即可解決．
（3）分兩種情形，當(dāng)1≤x≤5時，構(gòu)建一次函數(shù)確定最大值，當(dāng)6≤x≤12時，構(gòu)建二次函數(shù)取得最大值，最后比較得出結(jié)論．
（4）構(gòu)建Q關(guān)于x的二次函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）設(shè)y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=24}\\{4k+b=28}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=20}\end{array}\right.$，
∴y=2x+20，
（2）設(shè)P=k′x+b′，則$\left\{\begin{array}{l}{5k′+b′=400}\\{12k′+b′=680}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=40}\\{b′=200}\end{array}\right.$，
∴P=40x+200．
故答案為P=40x+200．
（3）當(dāng)1≤x≤5時，平均生產(chǎn)每噸藥品的成本是P=400元，
此時利潤W₁=（1400-400）y=1000（2x+20）=2000x+20000，
∵2000＞0，
∴W₁隨x增大而增大，
∴x=5時，W₁最大值=2000×5+20000=30000元．
當(dāng)6≤x≤12時，平均生產(chǎn)每噸藥品的成本是P=40x+200，
此時利潤W₂=（1400-P）y=（1400-40x-200）（2x+20）=-80x²+1600x+24000=-80（x-10）²+32000，
∴x=10時，W₂最大值=32000，
∵32000＞3000，
∴第10天利潤最高，最高利潤是32000元．
（4）a的最小值為160．，
∵5≤x≤12，
∴Q=（1400+a-40x-200）（2X+20）=-80x²+（1600+2a）x+（24000+20a），
∵-80＜0，
∴拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，Q隨x增大而增大，
∴-$\frac{1600+2a}{2×（-80）}$≥12，
解得a≥160，
∴a的最小值為160．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建函數(shù)，靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題，屬于中考�？碱}型．