Question

如圖，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=a厘米（a＞4）．動點P、Q同時從C點出發(fā)，點P在線段CB上以1厘米/秒的速度由C點向B點運(yùn)動，點Q在線段CD上以相同的速度由C點向D點運(yùn)動，過點P作直線垂直于BC，分別交BQ、AD于點E、F，當(dāng)點Q到達(dá)終點D時，點P隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒（t＞0）．
（1）如圖①，若a=5厘米，在運(yùn)動過程中，當(dāng)點E在矩形ABCD的對角線AC上時，求t的值；
（2）如圖②，若a=6厘米，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻t，使得∠BFQ=90°？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
（3）若經(jīng)過t秒后，恰好使矩形ABPF的面積與直角三角形BCQ的面積相等，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理求出PF，得出

BP

BC

=

PE

CQ

，代入求出即可；
（2）連接BF、FQ，根據(jù)勾股定理求出即可；
（3）根據(jù)面積公式求出t，根據(jù)t、a的取值求出即可．

解答：解：（1）∵EF∥AB，
∴△CEP∽△CAB，
∴

EP

AB

=

CP

BC

，
即

PE

4

=

t

5

，
∴PE=

4

5

t，
∵EF∥CD，
∴△BPE∽△BCQ，
∴

BP

BC

=

PE

CQ

，
即

5-t

5

=

4 5 t

t

，
解得t₁=1，t₂=0，
∵t＞0，
∴t=1，
答：t的值是1秒．

（2）連接BF、FQ，
根據(jù)勾股定理得：BF²+FQ²=BQ²，
即4²+（6-t）²+t²+（4-t）²=t²+6²，
解得：t=2，t=8＞4（舍去）．
答：在運(yùn)動過程中，存在某一時刻t，使得∠BFQ=90°，此時t的值是2秒．

（3）根據(jù)面積公式得：

1

2

at=4（a-t），
∴at=8（a-t），
∴（a+8）t=8a，
解得：t=

8a

a+8

，
根據(jù)題意得：t≤4，
∴

8a

a+8

≤4，
∴a≤8，
∵a＞4，
∴4＜a≤8．
答：a的取值范圍是4＜a≤8．

點評：本題主要考查對勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線分線段成比例定理，矩形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．