Question

22、附加題：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的兩個(gè)根，求x₁²+x₂²的值．
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x₁+x₂=1，x₁-x₂=-3
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1²-2×（-3）=7．
請根據(jù)解題過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法解決下面的問題：
已知：△ABC的兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5．試問：k取何值時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

Answer 1

分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用k表示出兩邊之積與兩邊之和的值；再利用勾股定理求出k的值，然后將k值代入后解方程，最后還要驗(yàn)根．

解答：解：設(shè)邊AB=a，AC=b．
∵a、b是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的兩根
∴a+b=2k+3，ab=k²+3k+2
又∵△ABC是以BC為斜邊的直角三角形，且BC=5
∴a²+b²=25即（a+b）²-2ab=25
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25
∴k²+3k-10=0
∴k₁=-5或k₂=2．
當(dāng)k=-5時(shí)，方程為x²+7x+12=0解得：x₁=-3，x₂=-4（舍去）．
當(dāng)k=2時(shí)，方程為x²-7x+12=0，解得：x₁=3，x₂=4
∴當(dāng)k=2時(shí)，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了勾股定理及一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，是一個(gè)綜合性的題目，也是一個(gè)難度中等的題目．