Question

（2012•石景山區(qū)一模）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0）和B（3a，-a）（a＞0），且點B在反比例函數(shù)y=-

3

x

的圖象上．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）若點M是y軸上一點，且滿足△ABM是直角三角形，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點B（3a，-a）在反比例函數(shù)y=-

3

x

的圖象上，代入反比例函數(shù)解析式求出a的值再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)所得三角形為直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)解答．

解答：解：（1）∵點B（3a，-a）在反比例函數(shù)y=-

3

x

的圖象上，
∴-a=-

3

3a

，a=±1，
∵a＞0，
∴a=1，…（1分）
∴B（3，-1），
∵A（1，0）和B（3，-1）在一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象上，
∴

k+b=0 3k+b=-1

，
解得 

k=- 1 2 b= 1 2

，…（2分）
∴一次函數(shù)的解析式為y=-

1

2

x+

1

2

．…（3分）
（2）①設(shè)M₁（0，a），
則AM₁²=1+a²，BM₁²=9+（a+1）²，AB²=5，
∵9+（a+1）²＞5，9+（a+1）²＞1+a²，
∴BM₁為斜邊：AM₁²+AB²=BM₁²，即1+a²+5=9+（a+1）²，解得a=-2，即M₁（0，-2）；
②設(shè)M₂（0，b），
CA=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
CB=

5

+

5

2

=

3 5

2

，
M₂C²=CB²+BM²，
則有（

1

2

-b）²=（

3 5

2

）²+（3-0）²+（-1-b）²，
解得b=-7．
故得M₂（0，-7）…（5分）

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，知道二次函數(shù)圖象上的點符合函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．