3.在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=kx+4m(m>0)的圖象經(jīng)過點B(p,2m),其中m>0.
(1)若m=1,且k=-1,求點B的坐標;
(2)已知點A(m,0),若直線y=kx+4m與x軸交于點C(n,0),n+2p=4m,試判斷線段AB上是否存在一點N,使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長,并說明理由.

分析 (1)根據(jù)待定系數(shù)法解答即可;
(2)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,再根據(jù)勾股定理解答即可.

解答 解:(1)∵一次函數(shù)y=kx+4m(m>0)的圖象經(jīng)過點B(p,2m),
∴2m=kp+4m.
∴kp=-2m.
∵m=1,k=-1,
∴p=2.
∴B(2,2).
(2)線段AB上存在一點N,使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長.
理由如下:
由題意,將B(p,2m),C(n,0)分別代入y=kx+4m,
得kp+4m=2m且kn+4m=0.
可得n=2p.
∵n+2p=4m,

∴p=m.
∴A(m,0),B(m,2m),C(2m,0).
∵xB=xA,
∴AB⊥x軸,
且  OA=AC=m.
∴對于線段AB上的點N,有NO=NC.
∴點N到坐標原點O與到點C的距離之和為NO+NC=2NO.
∵∠BAO=90°,
在Rt△BAO,Rt△NAO中分別有
OB2=AB2+OA2=5m2,NO2=NA2+OA2=NA2+m2
若2NO=OB,
則4NO2=OB2
即4(NA2+m2)=5m2
可得NA=$\frac{1}{2}$m.
即NA=$\frac{1}{4}$AB.
所以線段AB上存在一點N,使得點N到坐標原點O與到點C的距離之和等于線段OB的長,且NA=$\frac{1}{4}$AB.

點評 此題考查點的坐標與解析式的關(guān)系以及待定系數(shù)法的應用,用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式,是常用的一種解題方法.同學們要熟練掌握這種方法.

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