Question

兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，其中D點(diǎn)在AB上，連接BE．
（1）則=______，∠CBE=______度；
（2）當(dāng)把△DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)（D點(diǎn)在BC上），連接AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F，連接FC，則=______，∠CFE=______度；
（3）把△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)求出∠CFE的度數(shù)______．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△DCE是等腰三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，
因此=1，∠CBE=45°；

（2）同（1）可得BE=AD，
∴=1，
∠CBE=∠CAD；
又∵∠ACD=90°，∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、E、F、D四點(diǎn)共圓，
∴∠CFE=∠CDE=45°；

（3）同（2）可得∠BFA=90°，
∴∠DFE=90°；
又∵∠DCE=90°，
∴C、F、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠CFD=∠CED=45°，
∴∠CFE=∠CFD+∠DFE
=45°+90°
=135°．
分析：（1）先證明∠ACD=∠BCE，再根據(jù)邊角邊定理證明△ACD≌△BCE，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等解答；
（2）根據(jù)（1）的思路證明△ACD和△BCE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BE=AD，對(duì)應(yīng)角相等得∠DAC=∠DBF，又AC⊥CD，所以AF⊥BF，從而可以得到C、E、F、D四點(diǎn)共圓，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出∠CFE=∠CDE=45°；
（3）同（2）的思路，證明C、F、D、E四點(diǎn)共圓，得出∠CFD=∠CED=45°，而∠DEF=90°，所以∠CFE的度數(shù)即可求出．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形全等的判定和全等三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓以及同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．