分析 (1)先求得拋物線的對(duì)稱軸,從而得到OH=2,然后證明△AOB≌△BHC,則OA=BH.設(shè)OB=a,則OA=BH=3a,然后由OH=2可求得a的值;
(2)設(shè)OB=a,則OA=BH=3a.依據(jù)四邊形ABCD的面積=矩形AOHD的面積-2△AOB的面積列方程可求得a的值,然后可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),將(-1,0)代入拋物線的解析式可求得m的值,從而得到拋物線的解析式,然后可判定出點(diǎn)D是否在拋物線上;
(3)①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí),則PQ∥AB且PQ=AB.如圖1所示:當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,m)則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,m+3),將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m的值,故此可得到Q的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方時(shí).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,m)則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,m-3).將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m的值,故此可得到Q的坐標(biāo);當(dāng)AB為拋物線的對(duì)角線時(shí),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,m),Q(x,y).依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得m的值,故此可得到Q的坐標(biāo);②如圖3所示:當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方時(shí),且∠PBC=45°.先證明△ABE≌△CBE,則AE=EC.設(shè)DE=a,則EC=AE=4-a.在Rt△EDC中,由勾股定理可求得a的值,故此可得到E(2.5,3),然后可求得BP的解析式,并可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P′處時(shí),且∠P′BC=45°,則∠PBP′=90°.可求得BP′的解析式,并可得到點(diǎn)P′的坐標(biāo),依據(jù)點(diǎn)P和點(diǎn)P′的坐標(biāo)可得到n的范圍.
解答 解:(1)∵x=-$\frac{2a}$,
∴x=2.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO+∠CBH=90°.
∵∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠BAO=∠CBH.
在△AOB和△BHC中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{AB=BC}\\{∠BAO=∠CBH}\end{array}\right.$,
∴△AOB≌△BHC.
∴OA=BH.
設(shè)OB=a,則OA=BH=3a,
又∵直線l剛好是拋物線的對(duì)稱軸,
∴OH=2,即4a=2,解得a=$\frac{1}{2}$.
∴OB=$\frac{1}{2}$.
(2)設(shè)OB=a,則OA=BH=3a.
∵∠AOH=OHD=∠ADH=90°,
∴四邊形AOHD為矩形.
∴四邊形ABCD的面積=矩形AOHD的面積-2△AOB的面積=3a•4a-2×$\frac{1}{2}$×a•3a=9,解得a=1(負(fù)值已舍去).
∴OB=1,AO=3,OH=4.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,3).
將(-1,0)代入拋物線的解析式得:-m-4m+3=0,解得m=$\frac{3}{5}$.
所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x+3.
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)符合函數(shù)y=-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{12}{5}$x+3的關(guān)系式,
∴點(diǎn)D在二次函數(shù)的圖象上.
(3)①當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí),則PQ∥AB且PQ=AB.
如圖1所示:當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方時(shí).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,m)則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,m+3).
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:m+3=-$\frac{3}{5}$×9+$\frac{12}{5}$×3+3,解得m=$\frac{9}{5}$.
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,$\frac{24}{5}$).
如圖2所示當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方時(shí).
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,m)則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,m-3).
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:m-3=-$\frac{3}{5}$×25+$\frac{12}{5}$×5+3,解得m=3.
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,0).
當(dāng)AB為拋物線的對(duì)角線時(shí),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,m),Q(x,y).
依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:$\frac{4+x}{2}=\frac{1}{2}$,$\frac{y+m}{2}=\frac{3}{2}$,
所以x=-3,y=3-m.
將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得:3-m=-$\frac{3}{5}$×(-3)2-$\frac{36}{5}$+3,
解得:m=$\frac{63}{5}$.
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-3,-$\frac{48}{5}$).
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,$\frac{24}{5}$)或(5,0)或(-3,-$\frac{48}{5}$).
②如圖3所示:當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方時(shí),且∠PBC=45°.
在△ABE和△CBE中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△CBE.
∴AE=EC.
設(shè)DE=a,則EC=AE=4-a.由(1)可知:DC=DH-CH=2,
在Rt△EDC中,由勾股定理得:a2+22=(4-a)2,解得:a=1.5,
∴E(2.5,3).
設(shè)BE的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得:$\left\{\begin{array}{l}{2.5k+b=3}\\{k+b=0}\end{array}\right.$,
解得:k=2,b=-2.
直線BE的解析式為y=2x-2.
將x=4代入得:y=6.
當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P′處時(shí),且∠P′BC=45°,則∠PBP′=90°.
設(shè)直線BP′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+b,
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:-$\frac{1}{2}$×1+b=0,解得b=$\frac{1}{2}$.
∴直線BP′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$.
將x=4代入得:y=-$\frac{3}{2}$.
∴n的取值范圍是-$\frac{3}{2}$<n<6.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理的應(yīng)用,分類討論是解答問(wèn)題(2)的關(guān)鍵,確定出將∠PBC=45時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答問(wèn)題(3)的關(guān)鍵.
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A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{5}$ | C. | $\frac{2}{5}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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