Question

如圖1，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為A(O，1)，矩形CDEF的頂點(diǎn)C、F在拋物線(xiàn)上，D、E在軸上，CF交y軸于點(diǎn)B(0，2)，且其面積為8．

(1)求此拋物線(xiàn)的解析式；

(2)如圖2，若P點(diǎn)為拋物線(xiàn)上不同于A(yíng)的一點(diǎn)，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P、Q分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為S、R．

①求證：PB＝PS；

②判斷△SBR的形狀；

③試探索在線(xiàn)段SR上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)P、S、M為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)Q、R、M為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)找出M點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

Answer 1

 

⑴解：方法一：

∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4.

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)．F點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)。

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為．

其過(guò)三點(diǎn)A(0，1)，C(-2．2)，F(xiàn)(2，2)。

得

解這個(gè)方程組，得

∴此拋物線(xiàn)的解析式為    …………    (3分)

方法二：

 ∵B點(diǎn)坐標(biāo)為(0．2)，

∴OB＝2，

∵矩形CDEF面積為8，

∴CF=4.

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(一2，2)。  ………    (1分)

  根據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為。

  其過(guò)點(diǎn)A(0，1)和C(-2．2)

  ………

  解這個(gè)方程組，得

  此拋物線(xiàn)解析式為

(2)解：

①過(guò)點(diǎn)B作BN，垂足為N．

  ∵P點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=十l上．可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

  ∴PS＝，OB＝NS＝2，BN＝。

∴PN=PS—NS= ………………………… (5分)

  在RtPNB中．

  PB＝

∴PB＝PS＝………………………… (6分)

②根據(jù)①同理可知BQ＝QR。

∴，

又∵ ，

∴，

同理SBP＝………………………… (7分)

∴

∴

∴.

∴ △SBR為直角三角形．………………………… (8分)

③方法一：

設(shè)，

∵由①知PS＝PB＝b．，。

∴

∴�！�……………………… (9分)

假設(shè)存在點(diǎn)M．且MS＝，別MR＝ 。

若使△PSM∽△MRQ，

則有。

即

∴。

∴SR＝2

∴M為SR的中點(diǎn).………………………… (11分)

若使△PSM∽△QRM，

則有。

∴。

∴。

∴M點(diǎn)即為原點(diǎn)O。

  綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)．PSM∽MRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSM∽MRQ．………………………… (13分)

方法二：

  若以P、S、M為頂點(diǎn)的三角形與以Q、M、R為頂點(diǎn)的三角形相似，

∵，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM兩種情況。

  當(dāng)PSM∽MRQ時(shí)．SPM＝RMQ，SMP＝RQM．

  由直角三角形兩銳角互余性質(zhì)．知PMS+QMR＝。

∴�！�……………………… (9分)

  取PQ中點(diǎn)為N．連結(jié)MN．則MN＝PQ=．…………………… (10分)

∴MN為直角梯形SRQP的中位線(xiàn),

∴點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)  ……………………(11分)

當(dāng)△PSM∽△QRM時(shí)，

又，即M點(diǎn)與O點(diǎn)重合。

∴點(diǎn)M為原點(diǎn)O。

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M為SR的中點(diǎn)時(shí)，PSM∽△MRQ；當(dāng)點(diǎn)M為原點(diǎn)時(shí)，PSM∽△QRM………   (13分)

 

 

 

 

 解析:略