Question

菱形PQRS的四個頂點分別在矩形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA上，已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40，若最簡分數(shù)

m

n

是矩形ABCD的周長，則m+n=

 

．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系

專題：

分析：由菱形性質(zhì)知PR⊥SQ，且互相平分，這樣得到8個直角三角形，易知PR與SQ的交點是矩形ABCD的中心．由已知可得其中6個三角形的邊長分別為15、20、25．設(shè)AS=x、AP=y，由對稱性知CQ、CR的長分別為x、y，則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長分別為x、y、25，根據(jù)矩形ABCD的面積等于8個直角三角形的面積之和，列出關(guān)于x、y的方程，解得x、y，即可計算m+n的值．

解答：解：如圖，設(shè)AS=x、AP=y．
∵四邊形PQRS是菱形，
∴PR⊥SQ，且PR與SQ互相平分，
∴圖中有8個直角三角形，易知PR與SQ的交點是矩形ABCD的中心．
由已知可得其中6個三角形的邊長分別為15、20、25．由對稱性知CQ、CR的長分別為x、y，
則Rt△ASP和Rt△CQR的三邊長分別為x、y、25，
∵矩形面積等于8個直角三角形的面積之和，
∴（20+x）（15+y）=6×

1

2

×20×15+2×

1

2

xy，
化簡整理，得3x+4y=120 ①，
又x²+y²=625 ②，
①與②聯(lián)立，解得x₁=20，x₂=

44

5

，
y₁=15，y₂=

117

5

．
當x=20時，BC=x+BQ=40，這與PR=30不合，
故x=

44

5

，y=

117

5

，
∴矩形周長為2（15+20+x+y）=

672

5

，
即：m+n=672+5=677．
故答案為677．

點評：本題考查了菱形、矩形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，有一定難度．根據(jù)菱形與矩形的性質(zhì)分別表示出圖中8個直角三角形的兩條直角邊是解題的關(guān)鍵．