Question

已知△ABC是直角三角形，C為直角，AC≠BC，若點P是△ABC所在平面上的點（P≠A，B，C），使得P，B，C三點構成的三角形和△ABC相似，則這樣的點P最多有________個．

Answer 1

11
分析：這樣的點有11個，分為三大類，第一類，若P，B及C構成的三角形與原三角形全等，滿足題意的點P有3個位置，如圖所示；第二類若P，B，及C構成的直角三角形，∠CPB為直角，即BC為斜邊，滿足題意的點P有4個位置，如圖所示；第三類若∠PCB或∠PBC為直角，即PB或PC為斜邊，滿足題意的點P有4個位置，如圖所示，綜上，得到滿足題意的P最多有11個位置．
解答：解：這樣的P最多有11個，如圖所示：
分為三大類：
①若P，B及C構成的三角形與原三角形全等，有三種情況：P₅，P₆，P₇，如圖；
②若∠BPC=90°時，有四種情況：P₁，P₂，P₃，P₄，如圖；
③若∠PCB或∠PBC為直角，共有4種情況：P₈，P₉，P₁₀，P₁₁，如圖．
故答案為：11．
點評：此題考查了相似三角形的判定，利用了數(shù)形結合及分類討論的數(shù)學思想，要求學生借助圖形，根據(jù)P，B及C構成的直角三角形的直角頂點的不同，以及對應邊的不同，抓住問題的關鍵，分情況得出所有滿足題意的P點．做題注意不要遺漏解．