Question

已知：拋物線y=ax²+4ax+t與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，A（-1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，△ABC的面積為3，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）若D是第二象限內(nèi)到x軸、y軸距離的比為5：2的點(diǎn)，且點(diǎn)D在（2）中的拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)E，使DE與EA的差最大？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵x=-=-2，
∴拋物線的對稱軸是直線x=-2，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，0），
則=-2，解得x=-3，
∴B的坐標(biāo)（-3，0）；

（2）∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵S_△ABC=AB•OC=3，
∴×2•OC=3，
∴OC=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3）．
①如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）時(shí)，
將C（0，3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得，解得，
∴此拋物線的表達(dá)式為y=x²+4x+3；
②如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）時(shí)，
將C（0，-3），A（-1，0）代入y=ax²+4ax+t，
得，解得，
∴此拋物線的表達(dá)式為y=-x²-4x-3；

（3）設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2t，5t），則t＞0．
①如果（2）中的拋物線為y=x²+4x+3時(shí)，
將D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，
整理，得4t²-13t+3=0，
解得t₁=3，t₂=，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，15）或（-，）．
如圖，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，15）時(shí)，連接DB交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點(diǎn)E，連接AE，則DE-EA=DE-EB=BD最大．
設(shè)直線DB的解析式為y=mx+n，
將D（-6，15），B（-3，0）代入，
得，解得，
∴y=-5x-15，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-5，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-5）；
當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）時(shí)，連接DA交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點(diǎn)E，則DE-EA=AD最大．
同理，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=x+，
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-）；
②如果（2）中的拋物線為y=-x²-4x-3時(shí)，
將D（-2t，5t）代入，得5t=-4t²+8t-3，
整理，得4t²-3t+3=0，
∵△=9-4×4×3=-39＜0，
∴t無實(shí)數(shù)根，即點(diǎn)D不存在．
綜上可知，所求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-5）或（-2，-）．
分析：（1）拋物線的對稱軸為x=-，由此可求出拋物線的對稱軸方程，由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此可根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）先由AB=2，S_△ABC=AB•OC=3，得出OC=3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，-3），再分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；②點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）．都可以將C，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+4ax+t，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的表達(dá)式；
（3）先由D是第二象限內(nèi)到x軸、y軸距離的比為5：2的點(diǎn)，可設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2t，5t），則t＞0，根據(jù)點(diǎn)D在（2）中的拋物線上，分兩種情況進(jìn)行討論：①（2）中的拋物線為y=x²+4x+3，先將D（-2t，5t）代入，得5t=4t²-8t+3，解方程求出t₁=3，t₂=，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，15）或（-，）．再分兩種情況，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，15）時(shí)，由于A、D在對稱軸兩側(cè)，連接D與A的對稱點(diǎn)B，交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點(diǎn)E，連接AE，則此時(shí)DE-EA最大．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線DB的解析式，再將x=-2代入，求出y的值，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為（-，）時(shí)，由于A、D在對稱軸同側(cè)，直接連接DA交拋物線y=x²+4x+3的對稱軸于點(diǎn)E，則此時(shí)DE-EA最大．同上，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；②（2）中的拋物線為y=-x²-4x-3時(shí)，將D（-2t，5t）代入，整理后方程為4t²-3t+3=0，由于△＜0，得出點(diǎn)D不存在．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，軸對稱的性質(zhì)，直線較強(qiáng)，有一定難度．由于數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．