Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，AD平分∠CAB交弧于點(diǎn)D，連接CD、OD．下列結(jié)論：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED=∠AOD；④CD=DE．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

B
分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可證；再根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系進(jìn)行判斷即可得出答案．
解答：解：①∵AB是半圓直徑，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正確．
②過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②錯(cuò)誤．
③∵在△ODE和△ADO中，
∠DEO=90°+∠DAO，
∠AOD=90°+∠COD，
∵∠DAO=∠COD，
∴③∠OED=∠AOD錯(cuò)誤；
④作ON⊥CD，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，
∴∠CAD=×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴④正確．
綜上所述，只有①④正確．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題步驟繁瑣，但相對(duì)而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練是一道典型的題目．