Question

．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，且對稱軸為直線．

（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P（0，t）是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請進(jìn)行如下探究：

探究一：如圖1，設(shè)△PAD的面積為S，令W＝t?S，當(dāng)0＜t＜4時(shí)，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時(shí)t的值；如果沒有，說明理由；

探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與Rt△AOC相似？如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

（參考資料：拋物線對稱軸是直線）

 

Answer 1

解：（1）∵拋物線（）的對稱軸為直線．

∴，∴，

∴．

∴．

（2）探究一：當(dāng)時(shí)，有最大值．

∵拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，

∴，，，

∴．

當(dāng)時(shí)，作軸于，

則．

∵，

∴．

∵

       

       

       

∴

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，．

探究二：

 

存在．分三種情況：

①當(dāng)時(shí)，作軸于，則，

∴．

∴，，

∴．

∵軸，軸，

∴，∴，

∴．

∴，．

此時(shí)，又因?yàn)?sub>，

∴，∴，∴．

∴當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）．

②當(dāng)時(shí)，則，

 

∴，∴．

∵，∴．

∴與不相似，此時(shí)點(diǎn)不存在．

③當(dāng)時(shí)，以為直徑作，則的半徑，

圓心到軸的距離．∵，∴與軸相離．

不存在點(diǎn)，使．

∴綜上所述，只存在一點(diǎn)使與相似．