在△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,BC=k•AC,CD=k•CE.
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),AE與BD的數(shù)量關(guān)系是:________,位置關(guān)系是:________;
(2)如圖2,當(dāng)k≠1時(shí),請(qǐng)?zhí)剿鰽E與BD的關(guān)系,并證明;
(3)如圖3,在(2)的條件下,分別在BD、AE上取點(diǎn)M、N,使得BD=m•MD,AE=m•NE,試探索CN與CM的關(guān)系,并證明.

解:(1)當(dāng)k=1時(shí),BC=AC,CD=CE.
在△ACE與△BCD中,
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BCD=∠ACE,
BC=AC,CD=CE,
∴△ACE≌△BCD(SAS);
∴AE=BD(對(duì)應(yīng)邊相等),
∠CAE=∠CBD(對(duì)應(yīng)角相等);
延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°;
在△ABG中,
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠AGB=90°,
∴AG⊥BD,即AE⊥BD;

(2)當(dāng)k≠1時(shí),BC=k•AC,CD=k•CE.
在△ACE與△BCD中,
∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°,
∴∠BCD=∠ACE,
==k,
∴△ACE∽△BCD(SAS);
∴∠CAE=∠CBD(對(duì)應(yīng)角相等);
延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G.
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°;
在△ABG中,
∠ABG+∠BAG=∠ABC+∠BAG+∠CBD=∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠AGB=90°,
∴AG⊥BD,即AE⊥BD;

(3)CN⊥CM.
證明:∵△ACE∽△BCD(SAS),
∴∠CDB=∠CEA(相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等),
=(相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例);
又∵BD=m•MD,AE=m•NE,
=,
=
在△CNE和△CMD中,
=,∠CDB=∠CEA,
∴△CNE∽△CMD(SAS),
∴∠MCD=∠NCE;
∴∠BCM=∠ACN,
∴∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°,即∠NCM=90°,
∴CN⊥CM.
分析:(1)取k=1時(shí),BC=AC,CD=CE.由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°,得知∠BCD=∠ACE,從而證明△ACE≌△BCD(SAS);然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)變相等,對(duì)應(yīng)角相等求得AE=BD,∠CAE=∠CBD;最后延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G構(gòu)建三角形ABG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠AGB=90°,即AE⊥BD;
(2)當(dāng)k≠1時(shí),BC=k•AC,CD=k•CE.求得==k,由∠BCD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°,得知∠BCD=∠ACE,從而證明△ACE∽△BCD(SAS);然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)變相等,對(duì)應(yīng)角相等求得AE=BD,∠CAE=∠CBD;最后延長(zhǎng)AE交BD于點(diǎn)G構(gòu)建三角形ABG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得∠AGB=90°,即AE⊥BD;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,求得△ACE∽△BCD,又BD=m•MD,AE=m•NE,所以=,∠CDB=∠CEA,從而證明△CNE∽△CMD(SAS),然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠BCM=∠ACN,所以∠NCM=∠BCN+∠ACE=∠ACB=90°,即∠NCM=90°.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì).解答此題時(shí),關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形或相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠AGB=90°,∠NCM=90°.從而證明AE⊥BD,CN⊥CM.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB與CE交于F,ED與AB,BC,分別交于M,H.
(1)求證:CF=CH;
(2)如圖2,△ABC不動(dòng),將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時(shí),試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC和△EDC中,∠ACB=∠ECD=90°,BC=k•AC,CD=k•CE.
(1)如圖1,當(dāng)k=1時(shí),AE與BD的數(shù)量關(guān)系是:
 
,位置關(guān)系是:
 
;
(2)如圖2,當(dāng)k≠1時(shí),請(qǐng)?zhí)剿鰽E與BD的關(guān)系,并證明;
(3)如圖3,在(2)的條件下,分別在BD、AE上取點(diǎn)M、N,使得BD=m•MD,AE=m•NE,試探索CN與CM的關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=90°,AB與CE交于F,ED與AB、BC分別交于M、H.
(1)試說(shuō)明CF=CH;
(2)如圖2,△ABC不動(dòng),將△EDC從△ABC的位置繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為多少度時(shí),四邊形ACDM是平行四邊形,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)AC=
2
時(shí),在(2)的條件下,求四邊形ACDM的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本題滿分12分,每小題滿分各6分)如圖(1),在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=,AB與CE交于F,ED與AB、BC分別交于M、H.
(1)求證:CF=CH;
(2)如圖(2),△ABC不動(dòng),將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=時(shí),試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年湖北省襄陽(yáng)市谷城縣九年級(jí)中考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD,∠ACB=∠ECD=,AB與CE交于F,ED與AB、BC分別交于M、H.

圖1

(1)求證:CF=CH;

(2)如圖2,△ABC不動(dòng),將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=時(shí),試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結(jié)論.

                  

圖2

 

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