Question

如圖，矩形EFGH的邊EF＝6cm，EH＝3cm，在平行四邊形ABCD中，BC＝10cm，AB＝5cm，sin∠ABC＝，點(diǎn)E、F、B、C在同一直線上，且FB＝1cm，矩形從F點(diǎn)開始以1cm/s的速度沿直線FC向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)邊GF所在直線到達(dá)D點(diǎn)時(shí)即停止。

（1）在矩形運(yùn)動(dòng)過程中，何時(shí)矩形的一邊恰好通過平行四邊形ABCD的邊AB或CD的中點(diǎn)？

（2）若矩形運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿C－D－A－B的路線，以cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，矩形停止時(shí)點(diǎn)Q也即停止運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q在矩形一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少s？

（3）在矩形運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時(shí)，求出重疊部分面積S（）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出時(shí)間t的范圍。是否存在某一時(shí)刻，使得重疊部分的面積S＝16．5？若存在，求出時(shí)間t，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：(1)作AM⊥BC，∵AB=5，sin∠ABC=．∴BM=4，AM=3．

①當(dāng)GF邊通過AB邊的中點(diǎn)N時(shí)，有，∴

②當(dāng)EH邊通過AB邊的中點(diǎn)N時(shí)，有，

∴

③當(dāng)GF邊通過CD邊的中點(diǎn)K時(shí)，有CF=2，

∴

綜上，當(dāng)t等于3 s或9 s或13 S時(shí)，

矩形的一邊恰好通過平行四邊形的邊AB或CD的中點(diǎn)． 

(2)點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需的時(shí)間為：5÷=10(s)．此時(shí)，DG=1+14―10=5．

點(diǎn)Q從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)開始到與矩形相遇所需的時(shí)間為：．

∴矩形從與點(diǎn)Q相遇到運(yùn)動(dòng)停止所需的時(shí)間為：。

從相遇到停止點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為：．

即點(diǎn)Q從相遇到停止一直在矩形的邊GH上運(yùn)動(dòng)．

∴點(diǎn)Q在矩形的一邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為： s． 

(3)設(shè)當(dāng)矩形運(yùn)動(dòng)到t(s)(7<t<11)時(shí)與矩形的重疊部分為五邊形，

則BE=t一7，AH=4一(t一7)=11一t．

在矩形EFGH中，有AH∥BE，∴△AHP∽△BEP，，

∴

由對(duì)稱性知當(dāng)11<t<15時(shí)重疊部分仍為五邊形．綜上S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

把S=16．5代入得：．

即當(dāng)t等于9 s或13 s時(shí)重疊部分的面積為16．5 cm²．