Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A（21，0），C（0，6），動(dòng)點(diǎn)D在線段AO上從點(diǎn)A以每秒2個(gè)單位向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上從點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)D點(diǎn)P同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)線段另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（1分）；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，用含t的代數(shù)式表示△ODP的面積S（3分）；
（3）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)某一點(diǎn)時(shí)，是否存在使△ODP為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在說明理由（8分）.

Answer 1

（1）（21，6）；（2）（）；（3）（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.

試題分析：（1）由A（21，0），C（0，6），根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由AD=2t得OD=，從而由三角形面積公式即可得，根據(jù)點(diǎn)D點(diǎn)P同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)線段另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，可得t的取值范圍；（3）分∠POD=90°，∠PDO=90°，∠OPD=90°三種情況討論即可.
試題解析：（1）∵四邊形OABC是矩形，A（21，0），C（0，6），∴B的坐標(biāo)為（21，6）.
（2）∵根據(jù)題意，得AD=2t，OD=，
∴.
∵點(diǎn)D點(diǎn)P同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)線段另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，
∴由，得.
∴t的取值范圍為.
∴（）.
（3）存在. 如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，
∵OC=PE=6，CP=OE=t，AD=2t，OD=，ED=，
∴根據(jù)勾股定理，得.
若△ODP為直角三角形，分三種情況：
①∠POD=90°，則點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，此時(shí)，P（0，6）.
②∠PDO=90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，有OE=OD，即t=，解得t=7，此時(shí)，P（7，6）.
③∠OPD=90°，則，即，即，
解得t=3或t=4，此時(shí)，P（3，6）或（4，6）.
綜上所述，若△ODP為直角三角形，則P（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.