Question

如圖，已知等腰△ABC，AD是底邊BC上的高，AD：DC=1：3，將△ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得△DEF，點(diǎn)A、C分別與點(diǎn)E、F對應(yīng)，且EF與直線AB重合，設(shè)AC與DF相交于點(diǎn)O，則S_△AOF：S_△DOC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作DG⊥AB于G，設(shè)AD=x，則BD=3x，由勾股定理就可以求出AB=

10

x，由三角形的面積公式求出DG的值，由三角函數(shù)值求出AG，就可以表示出AE，從而求出AF，再由△AFO∽△DCO就可以求出結(jié)論．

解答：解：作DG⊥AB于G，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，∠B=∠C．
設(shè)AD=x，則BD=3x，由勾股定理，得
AB=

10

x，
∴AC=

10

x．
∴

AD•BD

2

=

AB•GD

2

，
∴

x•3x

2

=

10 x•GD

2

，
∴GD=

3 10 x

10

．
∵

AD

DC

=

1

3

=tan∠C．
∴tan∠B=

1

3

．
∵∠ADG+∠GAD=90°，∠B+∠GAD=90°，
∴∠ADG=∠B．
∴tan∠ADG=

AG

GD

=

1

3

，
∴

AG

3 10 x 10

=

1

3

，
∴AG=

10 x

10

．
∵△FDE是由△CDA旋轉(zhuǎn)得來的，
∴△FDE≌△CDA，
∴DE=DA．∠F=∠C．
∵DG⊥AB，
∴AG=EG．
∴AE=2AG，
∴AE=

10 x

5

．
∴AF=

10

x-

10 x

5

=

4 10 x

5

．
∵∠AOF=∠DOC，∠F=∠C，
∴△AFO∽△DCO，
∴S_△AOF：S_△DOC=(

AF

DC

)2=（

4 10 x 5

3x

）²．
=

32

45

．
故答案為：

32

45

．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形相似是關(guān)鍵．