Question

把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH、DG．
（1）求證：△BHE≌△DGF；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求線段FG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據矩形的性質得出∠ABD=∠BDC，再由圖形折疊的性質得出∠ABH=∠EBH，∠FDG=∠CDG，∠A=∠HEB=90°，∠C=∠DFG=90°，進而可得出△BEH≌△DFG；
（2）先根據勾股定理得出BD的長，進而得出BF的長，由圖形翻折變換的性質得出CG=FG，設FG=x，則BG=8-x，再利用勾股定理即可求出x的值．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠BDC，
∵△BEH是△BAH翻折而成，
∴∠ABH=∠EBH，∠A=∠HEB=90°，AB=BE，
∵△DGF是△DGC翻折而成，
∴∠FDG=∠CDG，∠C=∠DFG=90°，CD=DF，
∴∠DBH=∠ABD，∠BDG=∠BDC，
∴∠DBH=∠BDG，
∴△BEH與△DFG中，
∠HEB=∠DFG，BE=DF，∠DBH=∠BDG，
∴△BEH≌△DFG，

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm，
∴AB=CD=6cm，AD=BC=8cm，
∴BD===10，
∵由（1）知，FD=CD，CG=FG，
∴BF=10-6=4cm，
設FG=x，則BG=8-x，
在Rt△BGF中，
BG²=BF²+FG²，即（8-x）²=4²+x²，解得x=3，即FG=3cm．
點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質及矩形的性質，全等三角形的判定，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．