Question

如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為2的菱形鐵皮中剪下一個(gè)圓心角為60°的扇形．
（1）求這個(gè)扇形的面積（結(jié)果保留π）．
（2）在剩下的一塊余料中，能否從余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成一個(gè)圓錐請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)∠B為任意值時(shí)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）扇形的面積公式是：S=

nπr2

360

，代入公式就可以求出扇形的面積；
（2）、（3）要判斷能否從余料剪出一個(gè)圓與此扇形圍成一個(gè)圓錐，就是比較余料部分的內(nèi)切圓的半徑與圓錐的底面半徑的大小關(guān)系．

解答：解：（1）如圖，
∵BA=BC=2，
∴S=

nπR2

360

=

2

3

π；

（2）連接AC、BD，BD交弧AC于E點(diǎn)，圓心在DE上，
由勾股定理：BD=2

3

；
DE=2

3

-2≈1.46，
弧AC的長(zhǎng)：l=

nπR

180

=

2π

3

；
∴2πr=

2π

3

，
∴2r=

2

3

≈0.67＜1.46=DE；
另一方面，如圖：由于∠ADE=30°，過(guò)O作OF⊥AD，則OD=2OF=2r，因此DE≥3r；
所以能在余料中剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐．

（3）當(dāng)∠B=90°時(shí)，不能剪出一個(gè)圓作為底面與此扇形圍成圓錐．
理由：假設(shè)能成立，則弧AC的長(zhǎng)：l=

90π×2

180

=π，
則設(shè)圓錐的底面半徑是r，則2πr=π，
則r=

1

2

．
∴底面直徑長(zhǎng)是：2r=1；
由勾股定理求得：
BD=2

2

，DE=2

2

-2≈0.82＜1=2r；
因此∠B為任意值時(shí)，（2）中的結(jié)論不一定成立．

點(diǎn)評(píng)：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．