Question

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）求證：ME=MF．
（2）如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關系，并加以證明．
（3）如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBC，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關系，并說明理
（4）根據前面的探索和圖4，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，首先證明M是正方形ABCD對角線的交點，然后證明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性質得到ME=MF；
（2）ME=MF．過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，由M是菱形ABCD的對稱中心和菱形的性質得到 AM平分∠BAD，然后利用已知條件證明△MHF≌△MGE，最后利用全等三角形的性質得到ME=MF；
（3）ME=mMF．過點M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性質和已知條件證明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性質即可求解；
（4）平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBD，由于M是平行四邊形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，AD交QM于E．則ME=mMF．證明方法和（1）（2）（3）方法一樣．

解答：證明：（1）過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，
∵M是正方形ABCD的對稱中心，
∴M是正方形ABCD對角線的交點，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG
在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠HMG=90°，
在正方形QMNP，∠EMF=90°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE．
∴△MHF≌△MGE，
∴MF=ME．（3分）

（2）ME=MF．證明：過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，
∵M是菱形ABCD的對稱中心，
∴M是菱形ABCD對角線的交點，∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠QMN=∠B，
∴∠QMN+∠BAD=180°
又∵∠MHA=∠MGA=90°，在四邊形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG．
∴∠FMH=∠EMG，
∵∠MHF=∠MGE，
∴△MHF≌△MGE，
∴ME=MF．（6分）

（3）MF=mME．
證明：過點M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴∠EMF=∠B=90°，
又∵∠MGA=∠MGE=90°，在四邊形GMHA中，
∴∠GMH=90°，
∴∠EMG+∠GMF=∠GMF+∠HMF，
∴∠HMF=∠GME，
∵∠MGE=∠MHF，
∴△MGE∽△MHF，
∴

ME

MF

=

MG

MH

=

BC

AB

=

1

m

，
又∵M是矩形ABCD的對稱中心，
∴M是矩形ABCD對角線的中點
∴MG∥BC，
∴MG=

1

2

BC．同理可得MH=

1

2

CD，
∵AB=mBC，
∴MF=mME．（9分）

（4）平行四邊形ABCD和平行四邊形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，M是平行四邊形ABCD的對稱中心，MN交AD于F，AB交QM于E．則MF=mME．（10分）

點評：此題分別考查了正方形、菱形、矩形、平行四邊形的性質、全等三角形和相似三角形的性質和判定，綜合性比較強，要求學生對于這些知識點非常熟練，才能很好的解決問題．