Question

已知，如圖1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在矩形ABCD的邊ABCD的邊AB、CD、DA上，AH=2，連接CF．
（1）如圖2，當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求AE的長(zhǎng)和△FCG的面積；
（2）如圖1，設(shè)AE=x，△FCG的面積=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式與y的最大值．

Answer 1

分析：（1）要求AE的長(zhǎng)和△FCG的面積，需先證△AEH≌△DHG≌△MGF
（2）先證△AEH∽△DHG，然后根據(jù)比例關(guān)系，求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式與y的最大值

解答：解：（1）作FM⊥CD于M，
可證△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴AE=DH=6-2=4，
DG=AH=2，
∴△FCG的面積=

1

2

×6×2=6；


（2）可證△AEH∽△DHG，
∴

DG

AH

=

DH

AE

，即

DG

2

=

4

x

，
∴DG=

8

x

，
∴y=△FCG的面積=

1

2

×(8-

8

x

)×2=8-

8

x

，
∵

8- 8 x ＞0 x≤8

，
∴1＜x≤8，
∴當(dāng)x=8時(shí)，y的最大值為7．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)及相似和全等三角形的判定．