Question

如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙0,交BC于點D,連接AD,過點D作DE⊥AC,垂足為點E,交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙0的切線．（2）如果⊙0的半徑為5,sin∠ADE=,求BF的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析；（2）BF=．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OD,AB為⊙O的直徑得∠ADB=90°,由AB=AC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC,即DB=DC,則OD為△ABC的中位線,所以OD∥AC,而DE⊥AC,則OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；

（2）由∠DAC=∠DAB,根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可計算出AD=8,在Rt△ADE中可計算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可計算出BF．

試題解析：（1）連結(jié)OD,如圖,

∵AB為⊙0的直徑,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,

∵AB=AC,

∴AD平分BC,即DB=DC,

∵OA=OB,

∴OD為△ABC的中位線,

∴OD∥AC,

∵DE⊥AC,

∴OD⊥DE,

∴EF是⊙0的切線；

（2）∵∠DAC=∠DAB,

∴∠ADE=∠ABD,

在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,

∴AD=8,

在Rt△ADE中,sin∠ADE=,

∴AE=,

∵OD∥AE,

∴△FDO∽△FEA,

∴,即,

∴BF=．

考點：①切線的判定；②等腰三角形的性質(zhì)；③圓周角定理；④解直角三角形．