Question

已知二次函數y=a（x-2）²-a（x-2）（a為常數，且a≠0．）
（1）求證：不論a為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；
（2）設該函數的圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，當△ABC的面積等于2時，求a的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數的性質

專題：

分析：（1）把（x-2）看作一個整體，令y=0，利用根的判別式進行判斷即可；
（2）令y=0，利用因式分解法解方程求出點A、B的坐標，然后求出AB，再把拋物線轉化為頂點式形式求出頂點坐標，再利用三角形的面積公式列式進行計算即可得解．

解答：（1）證明：令y=0，a（x-2）²-a（x-2）=0，
△=（-a）²-4a×0=a²，
∵a≠0，
∴a²＞0，
∴不論a為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個公共點；

（2）解：y=0，則a（x-2）²-a（x-2）=a（x-2）（x-2-1）=0，
解得：x₁=2，x₂=3，
∴AB=1，
y=a（x-2）²-a（x-2）=a（x-2-

1

2

）²-

a

4

，
△ABC的面積=

1

2

×1×|

a

4

|=2，
解得：a=±16．

點評：此題主要考查了二次函數與圖象交點求法以及根的判別式、三角形的面積求法，把（x-2）看作一個整體求解更加簡便．