Question

已知直線l₁：y=

3

x與直線l₂：y=-(2+

3

)x+b相交于點B（2

3

，2），且直線l₂與x軸相交于點A．
（1）求A點的坐標(biāo)；
（2）點C在線段AB上，過C點作CD∥OB，交x軸于D點，已知以線段CD為直徑的⊙M與直線l₁相切．
①求⊙M的半徑r；
②若把△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OA'B'，在y軸上是否存在一點P，使得⊙P與⊙M、以O(shè)A'為直徑的⊙N都相切？若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：本題先由兩直線相交于點B，求出b值，進(jìn)而求出點A的坐標(biāo)．（2）問中要根據(jù)題意畫出圖形，按照直線與圓的幾種位置關(guān)系列出關(guān)系式求解．

解答：解：（1）依題意可知：
y=-2（2+

3

）×2

3

+b，
解得：b=8+4

3

；
∴直線l₂：y=-（2+

3

）x+8+4

3

．
由y=0得：0=-（2+

3

）x+8+4

3

，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①設(shè)點M到直線l₁的距離為d，過點A作AE⊥l₁于點E；
在Rt△AOE中，AE=

1

2

，OA=2，
∵CD∥l₁，
∴

2-d

2

=

2r

4

，
∴d=2-r；
∵OM與l₁相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+

3

2

，

1

2

），
設(shè)⊙P的半徑為R，
根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)可得：
（一）當(dāng)⊙P與⊙M、⊙N都外切時，得：
（R+1）²=（2+

3

2

）²+（R+

1

2

）²，解得R=4+2

3

，
∴P₁（0，-4-2

3

），
（二）當(dāng)⊙N、⊙M都與⊙P內(nèi)切時，得：
（R-1）²=（2+

3

2

）²+（R-

1

2

）²，
解得R=

16

5

+

2

5

3

＜4
∴P₂（0，

4

5

-

2

5

3

）；
綜上所述，滿足條件的P點的坐標(biāo)為P₁（0，-4-2

3

），P₂（0，

4

5

-

2

5

3

）．

點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運(yùn)用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．