Question

如圖，已知這是從正方形材料上剪裁下一個(gè)最大的圓形后剩下的邊角廢料中的一塊，其中AO⊥OB，并且AO=BO，當(dāng)AO=1時(shí)，求在此圖形中可裁剪出的最大的圓的半徑．

Answer 1

分析：本題中可將原正方形材料還原，通過示意圖可知裁剪出的最大的圓與弧AB所在的圓外切，同時(shí)還與AO、BO相切，連接兩圓圓心，結(jié)合小圓與OA、OB的切點(diǎn)，可構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理和方程解決問題．

解答：解：由題意，將原正方形材料還原，設(shè)其圓心為C，則該圓與AO、BO分別切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，
連接CO，設(shè)點(diǎn)D是CO上一點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心作圓切AO、BO于E、F，切弧AB于N點(diǎn)，則⊙D就是所求的最大的圓．
過D點(diǎn)作DM⊥CA于M，連接DE、DF，則可證四邊形MDEA是矩形；設(shè)⊙D半徑為x，在Rt△CDM中，
CD²=DM²+CM²，即（1+x）²=（1-x）²+（1-x）²，整理得x²-6x+1=0，
解得x₁=3-2

2

，x₂=3+2

2

（不合題意，舍去）
答：最大圓的半徑為3-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，需利用圓與圓的外切及圓與直線相切的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，利用方程來解決問題，另外還要注意解的取舍．