Question

（2013•六盤水）把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處，又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°…，按上述方法經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程為

2 +2

2

π

，經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程為

15 2 +31

2

π

．

Answer 1

分析：為了便于標(biāo)注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉(zhuǎn)后向右稍微平移一點(diǎn)，作出前幾次旋轉(zhuǎn)后的圖形，點(diǎn)O的第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對(duì)角線長為半徑，以90°圓心角的扇形，第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形；
①根據(jù)弧長公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
②求出61次旋轉(zhuǎn)中有幾個(gè)4次，然后根據(jù)以上的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算即可求解．

解答：解：如圖，為了便于標(biāo)注字母，且位置更清晰，每次旋轉(zhuǎn)后不防向右移動(dòng)一點(diǎn)，
第1次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為

90π×1

180

=

1

2

π；
第2次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的對(duì)角線長

2

為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為

90π× 2

180

=

2

2

π；
第3次旋轉(zhuǎn)路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，路線長為

90π×1

180

=

1

2

π；
第4次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)O沒有移動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后于最初正方形的放置相同，
因此4次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路線長為

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π=

2 +2

2

π；
∵61÷4=15…1，
∴經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是4次旋轉(zhuǎn)路程的15倍加上第1次路線長，即

2 +2

2

π×15+

1

2

π=

15 2 +31

2

π．
故答案分別是：

2 +2

2

π；

15 2 +31

2

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及弧長的計(jì)算，讀懂題意，并根據(jù)題意作出圖形更形象直觀，且有利于旋轉(zhuǎn)變換規(guī)律的發(fā)現(xiàn)．