Question

如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，且DF：CF=1：3，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

Answer 1

（1）證明：設(shè)正方形的邊長為a．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=a，∠A=∠D=90°，
∵E為邊AD的中點(diǎn)，
∴AE=ED=a，
又∵DF：CF=1：3，
∴DF=a，
∴=，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴ED：GC=DF：FC=1：3，
∴GC=3ED．
又∵正方形的邊長為4，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
分析：（1）設(shè)正方形的邊長為a．根據(jù)已知條件得到AE=ED=a，DF=a，則由“兩邊及夾角法”證得結(jié)論；
（2）由“平行線法”證得△DEF∽△CGF，所以由該相似三角形的對應(yīng)邊成比例可以求得CG=3ED，又由ED=AD=2，則易求BG的長度．
點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．此題利用了“兩邊及夾角法”和“平行線法”證得圖中的相似三角形的．