Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（t，0）在x軸上，B是線段PA的中點(diǎn)．將線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC，連結(jié)OB、BC．

（1）判斷△PBC的形狀，并簡(jiǎn)要說明理由；

（2）當(dāng)t＞0時(shí)，試問：以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t的值？若不能，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△AOP與△APC相似？

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形（2）t=2（3）±1或±4

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)在得出PB=PC，再根據(jù)B是線段PA的中點(diǎn)，得出∠BPC=90°，從而得出△PBC是等腰直角三角形．

（2）根據(jù)∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根據(jù)B是PA的中點(diǎn)，得出四邊形POBC是平行四邊形，當(dāng)OB⊥BP時(shí)，得出OP2=2OB2，即t2=2（t2+1），求出符合題意的t的值，即可得出答案；

（3）根據(jù)題意得出∠AOP=∠APC=90°，再分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)和時(shí)，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分別求出t的值即可．

試題解析：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：

∵線段PB繞著點(diǎn)P順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PC，

∴PB=PC，

∵B是線段PA的中點(diǎn)，

∴∠BPC=90°，

∴△PBC是等腰直角三角形．

（2）當(dāng)OB⊥BP時(shí)，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

∵∠OBP=∠BPC=90°，

∴OB∥PC，

∵B是PA的中點(diǎn)，

∴OB=AP=BP=PC，

∴四邊形POBC是平行四邊形，

當(dāng)OB⊥BP時(shí)，有OP=OB，即OP2=2OB2，

∴t2=2（t2+1），

∴t1=2，t2=﹣2（不合題意），

∴當(dāng)t=2時(shí)，以P、O、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

（3）由題意可知，∠AOP=∠APC=90°，

當(dāng)時(shí)，

△AOP∽△APC，

此時(shí)OP=OA=1，

∴t=±1，

當(dāng)時(shí)，

△AOP∽△CPA，

此時(shí)OP=2OA=4，

∴t=±4，

∴當(dāng)t=±1或±4時(shí)，△AOP與△CPA相似．